MATEMATIKA

Po završetku razreda učenik će biti u stanju da:

– koristi matematički jezik i sistematično i precizno predstavi ideju i rešenje;

– koristi logičke i skupovne operacije;

– koristi funkcije i relacije i njihova svojstva;

Dekartov proizvod. Relacije i funkcije.

Elementi kombinatorike (prebrojavanje konačnih skupova: pravilo zbira i pravilo proizvoda).

– predstavi prirodan broj u kanonskom obliku i na osnovu toga odredi NZS i NZD brojeva;

– prevede ceo broj iz jednog pozicionog sistema u drugi

– prevede ceo broj iz jednog pozicionog sistema u drugi;

– prevodi racionalne brojeve iz jednog zapisa u drugi;

– na osnovu realnog problema sastavi i izračuna vrednost brojevnog izraza (sa ili bez kalkulatora), proceni vrednost jednostavnijih izraza i tumači rezultat;

– računa sa približnim vrednostima brojeva, procenjuje grešku i po potrebi koristi kalkulator;

Približne vrednosti realnih brojeva (greške, granica greške, zaokrugljivanje brojeva, osnovne operacije sa približnim vrednostima).

– primeni prost kamatni račun za donošenje finansijskih odluka;

Procentni račun, prost kamatni račun.

Aksioma paralelnosti.

Jednostavniji planimetrijski dokazi.

– primeni podudarnost u ravni (simetrije, translacija, rotacija);

– koristi linearne operacije sa vektorima i primeni njihova osnovna svojstva;

– dokaže jednostavnija geometrijska tvrđenja koristeći podudarnost i vektore;

– konstruiše geometrijske objekte u ravni koristeći njihova svojstva;

Vektori i linearne operacije sa njima.

Odnosi stranica i uglova trougla.

Kružnica i krug.

Značajne tačke trougla. Četvorougao.

Simetrije, rotacija i translacija ravni.

Konstruktivni zadaci (trougao, četvorougao, kružnica).

– koristi nejednakosti h²³ 0 i odnos aritmetičke i geometrijske sredine;

Operacije sa racionalnim algebarskim izrazima (algebarski razlomci).

Važnije nejednakosti.

– reši linearne nejednačine;

– grafički predstavi linearnu funkciju i analizira njen grafik;

– reši problem koji se svodi na linearnu jednačinu, nejednačinu i sistem linearnih jednačina sa najviše tri nepoznate, diskutuje i tumači rešenja;

Linearna funkcija i njen grafik.

Sistemi linearnih jednačina sa dve ili tri nepoznate.

Primene u realnim situacijama.

Proporcionalnost duži.

Talesova teorema.

Homotetija. Sličnost.

Pitagorina teorema.

– primeni trigonometriju pravouglog trougla u realnim situacijama uz korišćenje kalkulatora.

Rešavanje pravouglog trougla.

Po završetku razreda učenik će biti u stanju da:

ključni pojmovi sadržaja programa

2.MA.1.1.2. Izračunava vrednost brojevnog izraza u kome se pojavljuju sabiranje, oduzimanje, množenje, deljenje, stepenovanje i korenovanje i pri tome po potrebi koristi kalkulator ili odgovarajući softver.

2.MA.1.1.4. Transformiše jednostavne algebarske izraze.

2.MA.1.1.5. Rešava jednostavne probleme koji se svode na linearne i kvadratne jednačine.

2.MA.1.1.6. Rešava jednostavne probleme koji se svode na linearne nejednačine i jednostavne kvadratne nejednačine.

2.MA.1.1.8. Zna i razume osnovne logičke i skupovne operacije i koristi ih .

2.MA.1.2.7. Primenjuje trigonometriju pravouglog trougla u jednostavnim realnim situacijama.

2.MA.1.3.2. Razume pojam, izračunava vrednost, koristi i skicira grafik linearne, kvadratne, stepene, eksponencijalne, logaritamske i trigonometrijskih funkcija sinusa i kosinusa.

2.MA.1.3.3. Analizira grafički predstavljene funkcije (određuje nule, znak, intervale monotonosti, ekstremne vrednosti i tumači ih u realnom kontekstu).

2.MA.1.4.4. Grafički predstavlja podatke u obliku dijagrama i tabela, analizira podatke i njihovu raspodelu.

2.MA.2.1.2. Razume pojam kompleksnog broja, predstavlja ga u ravni i zna osnovne operacije sa kompleksnim brojevima.

− skicira i tumači grafik stepene funkcije;

− kompleksni broj zadat u algebarskom obliku predstavi u ravni, odredi njegov moduo i rešava jednostavne probleme u kojima primenjuje osnovne operacije sa kompleksnim brojevima;

− reši problem koji se svodi na kvadratne jednačine i nejednačine, iracionalne jednačine i sisteme kvadratnih jednačina;

− skicira i tumači grafik kvadratne funkcije i koristi je u realnim situacijama;

− izračuna vrednost eksponencijalne i logaritamske funkcije, po potrebi koristeći kalkulator;

− koristi svojstva logaritama;

− skicira i tumači grafik eksponencijalne i logaritamske funkcije;

Stepen čiji je izložilac ceo broj.

Funkcija u = xⁿ (n ∈ N).

Stepen čiji je izložilac racionalan broj.

Kompleksni brojevi.

Kvadratne jednačine.

Vijetove formule.

Jednačine koje se svode na kvadratne.

Kvadratna funkcija.

Određivanje korena kvadratne jenačine.

Kvadratne nejednačine.

Sistemi jednačina sa dve nepoznate koji sadrže kvadratnu jednačinu.

Iracionalne jednačine.

2.MA.2.1.5. Transformiše algebarske izraze.

2.MA.2.1.6. Rešava probleme koji se svode na jednačine u kojima se pojavljuju elementarne funkcije .

2.MA.2.1.7. Rešava kvadratne i jednostavne racionalne nejednačine.

2.MA.2.1.9. Zna i koristi logičke i skupovne operacije, iskazni račun i pojam relacije (posebno poretka i ekvivalencije).

2.MA.2.2.5. Primenjuje trigonometrijske funkcije u jednostavnim realnim situacijama.

2.MA.2.3.3. Ume da skicira grafike elementarnih funkcija i da ih transformiše koristeći translacije i dilatacije duž koordinatnih osa.

2.MA.2.3.4. Rešava probleme koristeći osnovna svojstva funkcija (oblast definisanosti, periodičnost, parnost, monotonost, …).

2.MA.3.1.2. Izračunava vrednost izraza koristeći svojstva operacija i funkcija.

2.MA.3.1.4. Rešava jednačine sa parametrima.

2.MA.3.1.5. Rešava nejednačine koristeći osnovna svojstva elementarnih funkcija.

2.MA.3.1.6. Rešava sisteme linearnih jednačina sa i bez parametara i jednostavne sisteme nelinearnih jednačina.

2.MA.3.2.5. Primenjuje trigonometrijske funkcije u problemima.

2.MA.3.3.3. Koristi elementarne funkcije za rešavanje problema.

− izračuna vrednost trigonometrijske funkcije, po potrebi koristeći kalkulator;

− transformiše trigonometrijske izraze;

− skicira i tumači grafike trigonometrijskih funkcija;

− reši problem koji se svodi na jednostavne trigonometrijske jednačine i nejednačine koristeći svojstva odgovarajućih funkcija;

− primeni sinusnu i kosinusnu teoremu;

− analizira i obrazloži postupak rešavanja zadatka i diskutuje broj rešenja;

− koristi matematički jezik za sistematično i precizno predstavljanje ideja i rešenja;

− dokazuje jednostavnije matematičke teoreme i argumentuje rešenja zadataka.

Eksponencijalna funkcija.

Eksponencijalne jednačine i nejednačine.

Logaritam, njegova svojstva i primene.

Logaritamska funkcija.

Logaritamske jednačine i jednostavne nejednačine.

Ugao. Radijan.

Trigonometrijski krug.

Trigonometrijske funkcije.

Trigonometrijske transformacije.

Jednostavne trigonometrijske jednačine i nejednačine.

Sinusna i kosinusna teorema.

Po završetku razreda učenik će biti u stanju da:

ključni pojmovi sadržaja programa

2.MA.1.1.2. Izračunava vrednost brojevnog izraza u kome se pojavljuju sabiranje, oduzimanje, množenje, deljenje, stepenovanje i korenovanje i pri tome po potrebi koristi kalkulator ili odgovarajući softver.

2.MA.1.1.3. Primenjuje pravila zaokrugljivanja brojeva i procenjuje vrednost izraza u jednostavnim realnim situacijama.

2.MA.1.1.5. Rešava jednostavne probleme koji se svode na linearne i kvadratne jednačine.

2.MA.1.1.6. Rešava jednostavne probleme koji se svode na linearne nejednačine i jednostavne kvadratne nejednačine.

2.MA.1.1.7. Rešava jednostavne probleme koji se svode na sistem dve linearne jednačine sa dve nepoznate.

2.MA.1.2.1. Razume koncepte podudarnosti i sličnosti geometrijskih objekata, simetrije, translacije i rotacije u ravni.

2.MA.1.2.2. Izračunava i procenjuje rastojanja, obime i površine geometrijskih figura u ravni koristeći formule.

2.MA.1.2.3. Izračunava i procenjuje površine i zapremine geometrijskih tela u prostoru, koristeći formule.

2.MA.1.2.4. Koristi koordinatni sistem za predstavljanje jednostavnih geometrijskih objekata u ravni.

2.MA.1.2.5. Prepoznaje krive drugog reda.

2.MA.1.2.6. Razume pojam vektora,zna osnovne operacije sa vektorima i primenjuje ih.

2.MA.1.2.7. Primenjuje trigonometriju pravouglog trougla u jednostavnim realnim situacijama.

2.MA.1.3.1. Prepoznaje pravilnost u nizu podataka (aritmetički i geometrijski niz…), izračunava članove koji nedostaju, kao i sumu konačnog broja članova niza.

2.MA.1.3.2. Razume pojam, izračunava vrednost, koristi i skicira grafik linearne, kvadratne, stepene, eksponencijalne, logaritamske i trigonometrijskih funkcija sinusa i kosinusa.

2.MA.1.4.6. Primenjuje osnovna matematička znanja za donošenje finansijskih zaključaka i odluka.

2.MA.2.1.2. Razume pojam kompleksnog broja, predstavlja ga u ravni i zna osnovne operacije sa kompleksnim brojevima.

2.MA.2.1.3. Izračunava vrednost izraza u kome se pojavljuju i elementarne funkcije i pri tome po potrebi koristi kalkulator ili odgovarajući softver.

2.MA.2.1.7. Rešava kvadratne i jednostavne racionalne nejednačine.

2.MA.2.1.8. Rešava probleme koji se svode na sisteme linearnih jednačina sa najviše tri nepoznate.

2.MA.2.2.1. Rešava probleme i donosi zaključke koristeći osnovna geometrijska tvrđenja, metrička svojstva i raspored geometrijskih objekata.

2.MA.2.2.2. Uočava ravne preseke geometrijskih figura u prostoru i računa njihovu površinu.

2.MA.2.2.3. Rešava jednostavne probleme koristeći jednačinu prave i krive drugog reda.

2.MA.2.2.4. Primenjuje svojstva vektora pri rešavanju problema.

2.MA.2.2.5. Primenjuje trigonometrijske funkcije u jednostavnim realnim situacijama.

2.MA.2.3.1. Rešava probleme koristeći svojstva aritmetičkog i geometrijskog niza, primenjuje matematičku indukciju i izraz za sumu beskonačnog geometrijskog niza u jednostavnim slučajevima.

2.MA.2.4.6. Primenjuje matematička znanja za donošenje finansijskih zaključaka i odluka.

2.MA.3.1.1. Kompleksne brojeve predstavlja u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku i računa vrednost izraza sa kompleksnim brojevima.

2.MA.3.1.2. Izračunava vrednost izraza koristeći svojstva operacija i funkcija.

2.MA.3.1.4. Rešava jednačine sa parametrima.

2.MA.3.1.6. Rešava sisteme linearnih jednačina sa i bez parametara i jednostavne sisteme nelinearnih jednačina.

2.MA.3.2.1. Primenjuje osnovne teoreme planimetrije i njihove posledice u rešavanju problema i u dokazivanju geometrijskih tvrđenja.

2.MA.3.2.2. Rešava geometrijske probleme i donosi zaključke koristeći izometrijske transformacije u ravni i prostoru.

2.MA.3.2.3. Rešava probleme koristeći jednačine krivih drugog reda i njihovih tangenti u koordinatom sistemu.

2.MA.3.2.4. Primenjuje račun sa vektorima (skalarni i vektorski proizvod…).

2.MA.3.2.5. Primenjuje trigonometrijske funkcije u problemima.

2.MA.3.3.1. Primenjuje matematičku indukciju, aritmetički i geometrijski niz i izraz za sumu beskonačnog geometrijskog niza u problemskim situacijama.

– razlikuje vrste pravilnih poliedara na osnovu njihovih osobina;

– reši geometrijski problem koristeći izometrijske transformacije u prostoru;

– izračuna površinu i zapreminu prizme, piramide i zarubljene piramide i primeni ih u različitim situacijama;

– izračuna površinu i zapreminu valjka, kupe, zarubljene prave kupe i lopte, i primeni ih u različitim situacijama;

– uočava ravne preseke tela i izračuna njihovu površinu;

– primeni Gausov postupak za rešavanje sistema linearnih jednačina sa parametrima i bez njih;

– izračuna vrednost i primeni determinante trećeg reda;

– reši problem koji se svodi na sistem linearnih jednačina;

– primeni svojstva skalarnog, vektorskog i mešovitog proizvoda pri rešavanju problema;

– reši probleme međusobnih odnosa tačaka i pravih u koordinatnoj ravni;

– reši probleme koristeći jednačine prave i krivih drugog reda;

– reši probleme primenjujući uslov dodira i jednačinu tangente krive drugog reda;

– koristi matematičku indukciju kao metod dokazivanja;

– primeni kongruencije u problemima sa celim brojevima;

– predstavi kompleksan broj u trigonometrijskom obliku i izračuna stepen i koren kompleksnog broja;

– odredi nule i rastavi na činioce polinome u jednostavnim slučajevima i koristi Vijetove formule;

– primeni aritmetički i geometrijski niz u različitim problemima;

– analizira i obrazloži postupak rešavanja zadatka i diskutuje broj rešenja;

– koristi matematički jezik za sistematično i precizno predstavljanje ideja i rešenja;

– dokazuje jednostavnije matematičke teoreme i argumentuje rešenja zadataka;

– probleme iz svakodnevnog života prevede na matematički jezik i dobijeni matematički model reši vodeći računa o realnom kontekstu.

Međusobni odnosi tačaka, pravih i ravni. Ugao prave prema ravni, teorema o tri normale. Diedar, triedar, rogalj. Poliedar, pravilan poliedar, Ojlerova teorema. Translacija, rotacija i simetrija u prostoru. Površina i zapremina poliedra (posebno prizme, piramide i zarubljene piramide). Ravni preseci prizme i piramide. Kavalijerijev princip.

Cilindrična i konusna površ, obrtna površ.

Valjak, kupa, zarubljena prava kupa i njihove površine i zapremine.

Sfera i lopta. Površina sfere, sferne kalote i pojasa. Zapremina lopte i njenih delova.

Upisana i opisana sfera poliedra, pravog valjka i kupe.

Sistemi linearnih jednačina. Gausov postupak. Determinante drugog i trećeg reda. Kramerovo pravilo.

Pravougli koordinatni sistem u prostoru, projekcije i koordinate vektora.

Skalarni, vektorski i mešoviti proizvod vektora.

Primene vektora.

Rastojanje dveju tačaka, površina trougla. Razni oblici jednačine prave, ugao između dve prave, rastojanje tačke od prave. Linearne nejednačine s dve nepoznate i geometrijska interpretacija. Krive linije drugog reda (kružnica, elipsa, hiperbola i parabola). Odnos prave i krive drugog reda.

Princip matematičke indukcije i njegove primene. Kongruencije u skupu celih brojeva i njihove primene.

Polje kompleksnih brojeva. Trigonometrijski oblik kompleksnog broja, Moavrova formula. Polinomi nad poljem realnih i kompleksnih brojeva. Vijetove formule. Sistemi algebarskih jednačina višeg stepena.

Osnovni pojmovi o nizovima. Aritmetički i geometrijski niz.

Po završetku razreda učenik će biti u stanju da:

ključni pojmovi sadržaja programa

2MA.1.1.2. Izračunava vrednost brojevnog izraza u kome se pojavljuju sabiranje, oduzimanje, množenje, deljenje, stepenovanje i korenovanje i pri tome po potrebi koristi kalkulator ili odgovarajući softver.

2MA.1.1.3. Primenjuje pravila zaokrugljivanja brojeva i procenjuje vrednost izraza u jednostavnim realnim situacijama.

2MA.1.1.4. Transformiše jednostavne algebarske izraze.

2MA.1.1.5. Rešava jednostavne probleme koji se svode na linearne i kvadratne jednačine.

2MA.1.1.6. Rešava jednostavne probleme koji se svode na linearne nejednačine i jednostavne kvadratne nejednačine.

2MA.1.1.7. Rešava jednostavne probleme koji se svode na sistem dve linearne jednačine sa dve nepoznate.

2MA.1.1.8. Zna i razume osnovne logičke i skupovne operacije i koristi ih.

2MA.1.2.4. Koristi koordinatni sistem za predstavljanje jednostavnih geometrijskih objekata u ravni.

2MA.1.3.2. Razume pojam, izračunava vrednost, koristi i skicira grafik linearne, kvadratne, stepene, eksponencijalne, logaritamske i trigonometrijskih funkcija sinusa i kosinusa.

2MA.1.3.3. Analizira grafički predstavljene funkcije (određuje nule, znak, intervale monotonosti, ekstremne vrednosti i tumači ih u realnom kontekstu).

2MA.1.3.4. U funkcijama koje su predstavljene grafički ili tabelarno, analizira, primenjuje i približno izračunava brzinu promene pomoću priraštaja.

2MA.1.4.1. Prebrojava i procenjuje broj mogućnosti (različitih izbora ili načina) u jednostavnim realnim situacijama.

2MA.1.4.3. Razume koncept verovatnoće, izračunava i procenjuje verovatnoće događaja u jednostavnim situacijama.

2MA.1.4.4. Grafički predstavlja podatke u obliku dijagrama i tabela, analizira podatke i njihovu raspodelu.

2MA.1.4.5. Razume pojmove populacije i uzorka, izračunava i tumači uzoračku sredinu, medijanu i mod.

2MA.2.1.3. Izračunava vrednost brojevnog izraza u kome se pojavljuju i elementarne funkcije i pri tome po potrebi koristi kalkulator ili odgovarajući softver.

2MA.2.1.5. Transformiše algebarske izraze.

2MA.2.1.6. Rešava probleme koji se svode na jednačine u kojima se pojavljuju elementarne funkcije.

2MA.2.1.7. Rešava kvadratne i jednostavne racionalne nejednačine.

2MA.2.1.8. Rešava probleme koji se svode na sisteme linearnih jednačina sa najviše tri nepoznate.

2MA.2.1.9. Zna i koristi logičke i skupovne operacije, iskazni račun i pojam relacije (posebno poretka i ekvivalencije). 2MA.2.2.3. Rešava probleme koristeći jednačinu prave i krive drugog reda.

2MA.2.3.2. Razume koncept konvergencije niza i izračunava graničnu vrednost niza u jednostavnim slučajevima.

2MA.2.3.3. Ume da skicira grafike elementarnih funkcija i da ih transformiše koristeći translacije i dilatacije duž koordinatnih osa.

2MA.2.3.4. Rešava probleme koristeći osnovna svojstva funkcija (oblast definisanosti, periodičnost, parnost, monotonost…).

– izračuna granične vrednosti funkcija;

– odredi složenu i inverznu funkciju;

– koristi osnovna svojstva funkcija (domen, periodičnost, parnost, monotonost, nule i znak…);

– izračuna izvod funkcije po definiciji, kao i primenom pravila diferenciranja;

– primeni diferencijalni račun na rešavanje različitih problema, uključujući ekstremalne i druge probleme optimizacije u prirodnim i društvenim naukama i svakodnevnom životu;

– ispita tok i skicira grafik funkcije;

– izabere odgovarajući metod i odredi neodređeni integral;

– primeni određeni integral na rešavanje različitih problema;

– primeni elemente kombinatorike u realnim situacijama;

– primeni binomni obrazac na rešavanje različitih problema;

– odredi verovatnoću slučajnog događaja;

– odredi očekivanu vrednost i disperziju slučajne veličine;

– izvrši manje statističko istraživanje, obradi rezultate, prikaže ih i interpretira;

– analizira i obrazloži postupak rešavanja zadatka i diskutuje broj rešenja;

– koristi matematički jezik za sistematično i precizno predstavljanje ideja i rešenja;

– dokazuje jednostavnije matematičke teoreme i argumentuje rešenja zadataka.

Granična vrednost niza. Zbir beskonačnog geometrijskog niza. Broj e.

Važniji pojmovi i svojstva realnih funkcija realne promenljive.

Složena funkcija.

Inverzna funkcija.

Pregled elementarnih funkcija.

Granična vrednost funkcije. Neprekidnost funkcije (geometrijski smisao).

Asimptote.

Priraštaj funkcije. Izvod funkcije (problem tangente i brzine). Osnovne teoreme o izvodu, izvodi elementarnih funkcija.

Diferencijal i njegova primena kod aproksimacije funkcija.

Ispitivanje funkcije i njen grafik.

Primena izvoda na ekstremalne probleme.

Neodređeni integral. Tablica integrala i osnovna pravila.

Metod smene promenljive, metod parcijalne integracije.

Određeni integral, Njutn-Lajbnicova formula.

Primene određenog integrala.

Osnovna pravila. Varijacije. Permutacije.

Kombinacije (bez ponavljanja). Binomni obrazac.

Slučajni događaji. Verovatnoća. Uslovna verovatnoća i nezavisnost. Binomna verovatnoća. Slučajne veličine.

Populacija, obeležje i uzorak. Očekivana vrednost i disperzija. Prikupljanje, sređivanje, grafičko prikazivanje i numerička obrada podataka.

Ocene verovatnoće, srednje vrednosti i disperzije. Binomna, Puasonova i normalna raspodela.

2MA.2.3.6. Razume koncept izvoda funkcije i primenjuje ga u problemskim situacijama.

2MA.2.3.7. Rešava probleme minimuma i maksimuma koristeći izvod funkcije.

2MA.2.3.8. Razume koncept određenog integrala i njegovu primenu u jednostavnijim situacijama.

2MA.2.4.1. Primenjuje pravila kombinatorike za prebrojavanje mogućnosti (različitih izbora ili načina).

2MA.2.4.3. Razume koncept diskretne slučajne veličine i izračunava očekivanu vrednost, standardno odstupanje i disperziju (varijansu).

2MA.2.4.4. Razume značaj verovatnoće u tumačenju statističkih podataka.

2MA.2.4.5. Izračunava mere varijabilnosti i odstupanja od poznatih raspodela.

2MA.3.1.2. Izračunava vrednost brojevnog izraza koristeći svojstva operacija i funkcija.

2MA.3.1.3. Transformiše algebarske izraze, dokazuje jednakosti i nejednakosti.

2MA.3.1.5. Rešava nejednačine koristeći osnovna svojstva elementarnih funkcija.

2MA.3.1.6. Rešava sisteme linearnih jednačina sa i bez parametara i jednostavne sisteme nelinearnih jednačina.

2MA.3.3.1. Primenjuje matematičku indukciju, aritmetički i geometrijski niz i izraz za sumu beskonačnog geometrijskog niza u problemskim situacijama.

2MA.3.3.2. Izračunava graničnu vrednost niza, analizira i interpretira ponašanje niza podataka, izvodi i interpretira zaključke.

2MA.3.3.3. Koristi elementarne funkcije za rešavanje problema.

2MA.3.3.4. Izračunava granične vrednosti funkcija i rešava probleme koristeći svojstva neprekidnosti funkcija.

2MA.3.3.5. Rešava probleme i donosi zaključke analizirajući funkcije koristeći diferencijalni račun.

2MA.3.3.6. Rešava probleme primenom integralnog računa (površine ravnih figura, zapremine tela, dužine krivih, funkcija raspodele i svojstva slučajnih promenljivih).

2MA.3.4.1. Rešava složenije kombinatorne probleme.

2MA.3.4.2. Rešava probleme i donosi zaključke i odluke u situacijama neizvesnosti koristeći metode verovatnoće i statistike.

2.MA.3.4.3. Zna pojam funkcije raspodele, pojam neprekidne slučajne veličine i normalne raspodele.